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直观理解圆-周长和面积的关系

学习与成长:直观理解圆周长和面积的关系。

这有一个圆,假设我们知道它的周长等于6T,我把它写下来,单位无论是什么单位都一样。让我们来尝试一下,已知圆周长是6个单位,圆面积等于多少?试着暂停一下视频,看看你能不能自己解出来。

首先,假设你能求出某个特定圆的面积,然后让我们看一下是否能够找到一个万能公式,已知任何圆周长,然后可求出面积,反之亦然。好吧那让我们一起来做。

这里的关键是明白如何从圆周长中求出半径,然后从半径就可以求出面积了。所以已知原周长是六T,我们就知道六等于二乘以r,即半径。所以半径是多少呢?半径,我的意思是这一段距离,我们可以将两边同时除以二T。

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让我们来做一下,为了求r,两边都除以二T,r就等于n除以元,右边剩下一个r,那就是一,六除以二是三,所以,我们求到了半径,在这等于三个单位。然后我们就可以用Tr的平方,就等于乘以三的平方,这里要加括号,T乘以三的平方就等于九T。

所以在这个特别的例子里,当圆周长是六个单位,就可以求出它的面积为九个平方单位,或者可以写成单位的平方,因为半径也是平方了的,半径是三各单位,所以半径平方了之后得到单位的平方。

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现在来看是否能写出一条万能公式,已知圆周长等于二r,也知道面积等于πr的平方,能不能写出一个表达式或公式可以把圆周长和圆面积直接联系在一起?给你一个提示,可以先把r解出来,然后代回到这个等式里,反之亦然。暂停一下视频,看一下能不能做出来,一起来做。

先把r解出来,两边都除以二T,用另一种颜色写,就是跟这里做的一模一样。剩下什么?右边剩下r等于c即圆周长除以二T。现在来做面积这边,请记住面积等于乘以半径的平方,但也已知半径可以写成圆周长除以二T,所以会用圆周长除以二来表示半径。

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请记住,想要将圆面积和圆周长联系起来,所以这里等于什么?知道面积等于乘以周长的平方,除以二n的平方即四乘以n的平方。

现在看一下,这有T,如果把这个相乘,分母里也会有一个T,或者分母里有两个需要相乘,所以T除以的平方就等于1除以,像这样面积等于圆周长的平方除以四元,让我把它写出来,所以这就是最简式,不需要学会这个公式,但把它推导出来就已经很棒了。

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圆面积等于圆周长的平方除以四元,然后可以反过来,已知圆面积,如何求圆周长?可以直接在这写数字,或者可以求解c,把两边都乘以四T,得到四把两边都乘以四乘以面积,这样做得到什么?等于圆周长的面积,然后把圆周长解出来,两边开平方根,然后得到四r乘以面积的平方根,可以把它简化,但这对于把圆周长和圆面积联系起来,其实已经很简洁了。

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